Добрый день!

Как Вы сами верно написали, вопросами регистрации места проживания в г. Харькове занимаются районные отделы регистрации места проживания Управления ведения реестра территориальной громады Харьковского городского совета, которые осуществляют прием через центры предоставления административных услуг, а не нотариусы. Поэтому и вопрос о необходимом перечне документов необходимо адресовать данным компетентным органам.

Обычно, для регистрации места проживания необходимо предоставить паспорт (код?) лица, который подает заявление о регистрации, а также согласие собственника (сособственников) жилья, в котором планируется регистрация и правоустанавливающий документ на жилье. 

Если Ваши пол-дома представляют собой отдельный объект недвижимости, разделены в натуре по договору конкретного пользования, то возможно, одного Вашего согласия на регистрацию места жительства Вашей супруги в данном жилье и будет достаточно.
Но, скорее всего, особенно, если Ваши пол-дома юридически это только лишь идеальная доля в праве собственности, а не отдельный объект недвижимости, то потребуется согласие также  остальных сособственников дома. Ведь место проживания регистрируется в доме по конкретному адресу, а не в какой-то определенной его части.